S06D

1. Differential- und Integralrechnung: Grundlagen

1.1 Ableitungen und Integrale

Ableitung:

Die Ableitung einer Funktion $f (x)$ beschreibt die Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x$ . Sie wird als $f^{'} (x)$ oder $f r a c d f d x$ geschrieben.

Integral:

Das bestimmte Integral $i n t_{a}^{b} f (x) d x$ berechnet die Fläche unter dem Graphen von $f$ zwischen $x = a$ und $x = b$ .

Maxima-Befehle:

Ableitung: diff(f(x), x)
Integral: integrate(f(x), x, a, b)

Beispiel:

Ableitung von $f (x) = x^{2}$ :
diff(x^2, x);
Integral von $f (x) = x^{2}$ von 0 bis 2:
integrate(x^2, x, 0, 2);

2. Aufgabenbereich: Ballonfahren

2.1 Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Ableitungen

Typische Aufgabe:

Gegeben ist die Ableitung $h_{1}^{'} (t) = 0, 09 t^{2} - 7, 2 t + 108$ und ein Startwert $h_{1} (0) = 240$ .

Vorgehen:

Integriere die Ableitung, um die Stammfunktion zu erhalten.
Setze die Anfangsbedingung ein, um die Konstante zu bestimmen.

Maxima-Befehl:

integrate(0.09*t^2 - 7.2*t + 108, t) + C;

Setze $t = 0$ und $h_{1} (0) = 240$ , löse nach $C$ :

solve(''result'' = 240, C);

2.2 Quadratische Funktionen aus Bedingungen bestimmen

Typische Aufgabe:

Finde $h_{2} (t) = a t^{2} + b t + c$ mit Bedingungen wie $h_{2} (20) = 1200$ , $h_{2} (30) = 240$ , $h_{2}^{'} (30) = - 10$ .

Vorgehen:

Stelle für jede Bedingung eine Gleichung auf.
Löse das Gleichungssystem.

Maxima-Befehl:

eq1: a*20^2 + b*20 + c = 1200;  
eq2: a*30^2 + b*30 + c = 240;  
eq3: diff(a*t^2 + b*t + c, t), t=30) = -10;  
linsolve([eq1, eq2, eq3], [a, b, c]);

3. Rotationskörper und Volumen

3.1 Rotationsvolumen

Formel:

Das Volumen $V$ eines Körpers, der durch Rotation des Graphen $f (x)$ um die x-Achse im Intervall $[a, b]$ entsteht, ist:

$V = p i i n t_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

Maxima-Befehl:

integrate(%pi * (f(x))^2, x, a, b);

3.2 Tangentengleichung

Vorgehen:

Bestimme die Ableitung $f^{'} (x)$ .
Setze den Punkt $P (x_{0}, f (x_{0}))$ ein.
Tangentengleichung: $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

Maxima-Befehl:

diff(f(x), x);  
subst(x=x0, ''result'');  
Tangent: f'(x0)*(x - x0) + f(x0);

4. Geschwindigkeit, Weg und Flächeninhalte

4.1 Flächeninhalt unter einer Kurve

Interpretation:

Der Flächeninhalt unter einer Geschwindigkeit-Zeit-Kurve im Intervall $[a, b]$ entspricht dem zurückgelegten Weg.

Maxima-Befehl:

integrate(v(t), t, a, b);

4.2 Näherung durch Geometrie

Vorgehen:

Wenn die Fläche durch ein Viereck angenähert wird, berechne die Fläche mit der Formel für das Trapez oder Rechteck.

5. Polynomfunktionen und Gleichungssysteme

5.1 Polynom 3. Grades durch Bedingungen bestimmen

Typische Aufgabe:

Finde $h (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ mit 4 Bedingungen (z.B. Werte und Steigungen an zwei Punkten).

Maxima-Befehl:

eq1: h(x1) = y1;  
eq2: h(x2) = y2;  
eq3: diff(h(x), x), x=x1) = m1;  
eq4: diff(h(x), x), x=x2) = m2;  
linsolve([eq1, eq2, eq3, eq4], [a, b, c, d]);

6. Trigonometrische Funktionen

6.1 Kosinusfunktion anpassen

Typische Aufgabe:

Finde Parameter $a$ und $d$ für $h (x) = a c o s l e f t (f r a c p i 8 x r i g h t) + d$ anhand von Start- und Endwerten.

Maxima-Befehl:

eq1: a*cos(0) + d = y1;  
eq2: a*cos(%pi) + d = y2;  
linsolve([eq1, eq2], [a, d]);

6.2 Steigung berechnen

Steigung:

Die Steigung ist die Ableitung der Funktion. Um die maximale Steigung zu finden, bestimme das Maximum von $| h^{'} (x) |$ .

Maxima-Befehl:

diff(h(x), x);  
find_maximum(abs(''result''), x, a, b);

7. Verschiebung von Funktionen

Verschiebung:

Eine Funktion $h (x)$ wird um $s$ Einheiten nach rechts und $t$ Einheiten nach oben verschoben:

$h_{1} (x) = h (x - s) + t$

8. Mittlere Geschwindigkeit und Änderungsrate

Mittlere Geschwindigkeit:

$v_{m i t t e l} = f r a c t e x t G e s a m t w e g t e x t G e s a m t z e i t$

Mittlere Änderungsrate:

$f r a c F (b) - F (a) b - a$

9. Extremstellen und Geschwindigkeiten

Extremstelle:

Setze die Ableitung gleich Null und löse nach $t$ :

$s^{'} (t) = 0$

Maxima-Befehl:

diff(s(t), t);  
solve(''result'' = 0, t);

Intervall für Geschwindigkeit:

Setze die Ableitung kleiner/gleich einem Wert und löse die Ungleichung:

solve(sqrt((diff(s(t), t))^2) <= 5, t);

10. Quadratische Funktionen aus Bedingungen

Typische Aufgabe:

Finde $f (x) = a x^{2} + b x$ mit Punkt und Steigung.

Maxima-Befehl:

eq1: a*x0^2 + b*x0 = y0;  
eq2: diff(a*x^2 + b*x, x), x=x0) = m0;  
linsolve([eq1, eq2], [a, b]);

11. Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen

Formel:

$A = i n t_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$

Maxima-Befehl:

integrate(f(x) - g(x), x, a, b);

12. Zusammenfassung: Maxima-Befehle im Überblick

Ableitung: diff(f(x), x)
Integral: integrate(f(x), x, a, b)
Gleichungssystem lösen: linsolve([eq1, eq2, ...], [a, b, ...])
Wert einsetzen: subst(x=wert, ausdruck)
Nullstellen: solve(f(x) = 0, x)
Ungleichungen: solve(f(x) <= wert, x)

13. Beispielhafte Maxima-Anwendung

Beispiel:

Gegeben $h^{'} (t) = 0, 09 t^{2} - 7, 2 t + 108$ , $h (0) = 240$ :

/* Stammfunktion bestimmen */  
F: integrate(0.09*t^2 - 7.2*t + 108, t) + C;  
/* Anfangsbedingung einsetzen */  
eq: subst(t=0, F) = 240;  
/* Nach C auflösen */  
solve(eq, C);  
/* Endgültige Funktion */  
h1: F, C=...;